👩🏾‍🔬 ✋ 🅾️ Случайный трамвай посреди незнакомого города 🚴🏿 👩🏿‍🤝‍👨🏽 🕛

, , . , , , . , , .

, ,

, , , 17. , ?

, 1 N , .

« » , . , , , , 34, "x2" 17. «»: 17. , - . , 17 34, "x1" "x2" — , , , .

- ? , , . , 30 . «30» — ? , 1000 , 999 30 , — 17. , 30- , 17- — ? , , , , , , , , - .

, , , .

, ,

, .

: , , , . , , , , , . , : . ?

, :

.
, , .
, , . «1» «2», , «3», «4», «5» «6» — .
, . , «», , «» — .

1) , . , , , 1). , , , 1) , .

, 2) «», , , , .

, . , , , 1/3, , , — 2/3. , 3) — , . , . , , , 1000 , , ,

333 - 4 \sqrt{1000 \cdot 1 / 3 \cdot 2 / 3}

$333-4\sqrt{1000\ \cdot1/3\cdot2/3}\$ ,

333 - 60

$333 - 60$ , . , 3), , .

, : , , 50%. , , , . , . 4) , , .

, , . , , , , 4. , , - .

«»

, , : , - , , , . , , , , . , , .

: « , ?»

« » , "x1" "x2".

, . ,

N

$N$ .

1

$1$

N

$N$

k

$k$ , .

"x1"

V

$V$

N

$N$

k

$k$ . ,

k

$k$

N

$N$ , ,

V

$V$

2 N

$2N$ . :

V

$V$ ,

k

$k$ , ,

N / 2

$N/2$ .

k

$k$

N / 2

$N/2$

N

$N$ 50%, — . , "x1" () , .

, "x2". ,

k

$k$ ,

V

$V$

2 k

$2k$ . ,

2 N

$2N$ , , ,

N / 2

$N/2$ . ,

V

$V$

N / 2

$N/2$ ,

k

$k$ ,

N / 4

$N/4$ .

N

$N$ 4-

1 / 4

$1/4$ , — . , "x2", , () 3/4 , .

, , , ,

N

$N$ ,

V

$V$

k

$k$ , , . , . , , 0 π, . .

,

N

$N$ , .

[0, N]

$[0,\,N]$ .

k

$k$ , . ,

V

$V$

N

$N$ , ,

N

$N$ , , . , , ,

N

$N$ .

, "x1" - 50%, "x2" — 75% , , .

- . , , , ,

V

$V$ ,

f (k)

$f(k)$ ,

f ()

$f()$ — ,

(0, + \infty)

$(0,\ +\infty)$ .

,

k_{1}

$k_1$ , —

k_{2}

$k_2$ ,

k_{1} < k_{2}

$k_1<k_2$ . , , . ,

k_{1} < k_{2}

$k_1<k_2$

f (k_{1}) < f (k_{2})

$f(k_1)<f(k_2)$ , ,

f ()

$f()$ . , «»

k_{1}

$k_1$

k_{2}

$k_2$

V_{1} = f (k_{1})

$V_1=f(k_1)$

V_{1} = f (k_{2})

$V_1=f(k_2)$ , ,

f ()

$f()$ .

, ,

f ()

$f()$ . ,

V

$V$ ( ),

N / 2 \leq f (k) \leq 2 N

$N/2\le f(k)\le2N$ .

k

$k$

N

$N$ , :

2 k \leq 2 N

$2k\le2N$ . , ,

k

$k$ ,

N

$N$

V

$V$

2 k

$2k$ . ,

V

$V$

2 k

$2k$ , , ,

V

$V$ , «». ,

f (k)

$f(k)$ ,

k > 0

$k>0$

f (k) \geq 2 k

$f(k)\geq2k$ .

, .

,

N

$N$ ,

k

$k$ — () ,

V = f (k)

$V=f(k)$ —

N

$N$ . , ,

V

$V$

N

$N$ ?

V

$V$ , , —

2 N

$2N$ , —

N / 2

$N/2$ .

f ()

$f()$ ,

f^{- 1} (v)

$f^{-1}\left(v\right)$ , .

f ()

$f()$

f (k) \geq 2 k

$f(k)\geq2k$ ,

f^{- 1} ()

$f^{-1}()$ :

f^{- 1} (v) \leq 1 / 2 v

$f^{-1}\left(v\right)\le 1/2 v$ ( 1)

. 1

,

k

$k$ ,

V

$V$ ,

k_{s u p} = f^{- 1} (2 N)

$k_{sup}=f^{-1}\left(2N\right)$ . ,

f^{- 1} ()

$f^{-1}\left(\right)$

k_{s u p} = f^{- 1} (2 N) \leq 2 N

$k_{sup}=f^{-1}\left(2N\right)\le 2N$ . ,

k

$k$ ,

V

$V$ ,

k_{i n f} = f^{- 1} (N / 2)

$k_{inf}=f^{-1}\left(N/2\right)$ . ,

V

$V$

N

$N$ ( ) ,

k

$k$

k_{i n f}

$k_{inf}$

k_{s u p}

$k_{sup}$ . ,

p_{s u c c e s s} (f, N)

$p_{success}(f,\ N)$ , :

\frac{k_{s u p} - k_{i n f}}{N}

$\frac{k_{sup}-\ k_{inf}\ }{N}$

p_{s u c c e s s} (f, N) = \frac{f^{- 1} (2 N) - f^{- 1} (N / 2)}{N}

$p_{success}(f,\ N)=\ \frac{f^{-1}\left(2N\right)-\ f^{-1}\left(N/2\right)\ }{N}$

f

$f$ ,

\bar{N}

$\bar{N}$

p_{s u c c e s s} (f, N)

$p_{success}(f,\ N)$ . , ,

f (k)

$f(k)$ , :

{ρ (f) = {i n f}_{N} [p}_{s u c c e s s} (f, N)]

${\rho\left(f\right)={inf}_N[\ p}_{success}(f,\ N)]$

ρ (f)

$\rho\left(f\right)$ , ,

φ (k)

$\varphi(k)$ , :

{i n f}_{N} [p_{s u c c e s s} (φ, N)] = {s u p}_{f} {i n f}_{N} [p_{s u c c e s s} (f, N)]

${inf}_N[p_{success}\left(\varphi,\ N\right)]={sup}_f\ {inf}_N[p_{success}\left(f,\ N\right)]$

.

, ,

φ (k)

$\varphi(k)$ ,

(*) i n f_{N} [\frac{f^{- 1} (2 N) - f^{- 1} (N / 2)}{N}]

$(*)\ \ \ \ \ \ inf_N\left[\frac{f^{-1}\left(2N\right)-f^{-1}\left(N/2\right)}{N}\right]$

(0, + \infty)

$(0,+\infty)$ ,

l (k) = 2 k

$l(k)=\ 2k$ . , ? , , . .

, , — ,

f (k) = λ \cdot k

$f(k)=\ \lambda\cdot k$ (

λ

$\lambda$ — ≥2) (*) .

f (k) = λ \cdot k

$f(k)=\ \lambda\cdot k$

f^{- 1} (v) = λ^{- 1} \cdot v

$f^{-1}\left(v\right)=\lambda^{-1}\cdot v$ ,

p_{s u c c e s s}

$p_{success}$ , :

p_{s u c c e s s} (N, λ) = \frac{λ^{- 1} \cdot 2 N - λ^{- 1} \cdot N / 2}{N} = \frac{3}{2} \cdot λ^{- 1}

$p_{success}\left(N,\lambda\right)=\ \frac{\lambda^{-1}\cdot2N-\lambda^{-1}\cdot N/2}{N}=\frac{3}{2}\ \cdot\ \lambda^{-1}\$

p_{s u c c e s s}

$p_{success}$

N

$N$ ,

λ

$\lambda$ . ,

f (k) = λ \cdot k

$f(k)=\ \lambda\cdot k$ ,

λ \geq 2

$\lambda\geq2$ (*),

l (k) = 2 k

$l(k)=\ 2k$ .

, , , , , , —

φ

$\varphi$ ?

V

$V$

V_{c m} = f_{c m} (k_{c m})

$V_{cm}=\ f_{cm}(k_{cm})$ ,

V_{m}

$V_m$

k_{m}

$k_m$ — , , :

V_{m} = \frac{1}{100} V_{c m} = \frac{1}{100} f_{c m} ({100 \cdot k}_{m}) = f_{m} (k_{m})

$V_m=\frac{1}{100}V_{cm}=\frac{1}{100}f_{cm}({100\cdot k}_m)=\ f_m(k_m)$

A

$A$

B

$B$ ,

A

$A$

μ_{A B}

$\mu_{AB}$ .

V (k)

$V(k)$

A

$A$ ,

B

$B$ .

f_{A} (k_{A})

$f_A(k_A)$ —

A

$A$ ,

f_{B} (k_{B})

$f_B(k_B)$ —

B

$B$ , :

f_{B} (t) = μ_{A B} \cdot f_{A} ({μ_{A B}}^{- 1} \cdot t)

$f_B(t)=\mu_{AB}\cdot f_A({\mu_{AB}}^{-1}\cdot t)$

f_{A} (t)

$f_A(t)$

f_{B} (t)

$f_B(t)$ (

t

$t$ — ).

, , - , ? , ! ,

μ > 0

$\mu>0$

φ (t)

$\varphi(t)$ ,

(*)

$(*)$ ,

ψ (t) = μ \cdot φ (μ^{- 1} \cdot t)

$\psi(t)=\mu\cdot\varphi(\mu^{-1}\cdot t)$

(*)

$(*)$ .

φ (t)

$\varphi(t)$

(*)

$(*)$ ,

t > 0

$t>0$

μ > 0

$\mu>0$ :

φ (t) = μ \cdot φ (μ^{- 1} \cdot t)

$\varphi(t)=\mu\cdot\varphi(\mu^{-1}\cdot t)$

μ = t

$\mu=t$ ,

φ

$\varphi$ :

φ (t) = t \cdot φ (t^{- 1} \cdot t) = t \cdot φ (1)

$\varphi(t)=t\cdot\varphi(t^{-1}\cdot t)=t\cdot\varphi(1)$

, : ,

φ (t)

$\varphi(t)$

f (k) = λ \cdot k

$f(k)=\ \lambda\cdot k$ , ,

(*)

$(*)$

l (k) = 2 k

$l(k)=\ 2k$ . "x2"?

: x2

, , ,

l (k) = 2 k

$l(k)=\ 2k$ , . , , .

f (k)

$f(k)$ ,

f (k) \leq 2 k

$f(k)\le2k$ ,

v_{0}

$v_0$ ,

p_{s u c c e s s} (f, v_{0})

$p_{success}\left(f,\ v_0\right)$ .

. 2

f^{(- 1)} (v)

$f^{\left(-1\right)}\left(v\right)$

A = ({v_{0} / 2, f}^{- 1} (v_{0} / 2))

$A=({v_0/2,\ f}^{-1}(v_0/2))$

B = ({{2 v}_{0}, f}^{- 1} ({2 v}_{0}))

$B=({{2v}_0,\ f}^{-1}({2v}_0))$ ( 2), ,

O v

$Ov$

\frac{f^{- 1} (2 v_{0}) - f^{- 1} (v_{0} / 2)}{3 / 2 \cdot v_{0}}

$\frac{f^{-1}\left(2v_0\right)-f^{-1}(v_0/2)}{3/2\ \cdot\ v_0}$

2 / 3

$2/3$ -

p_{s u c c e s s} (f, v_{0})

$p_{success}\left(f,\ v_0\right)$ . :

A B

$AB$

i (v)

$i(v)$ .

(v_{0} / 2, 2 v_{0})

$(v_0/2,\ 2v_0)$

i (v)

$i(v)$ , ,

p_{s u c c e s s} (f, v_{0})

$p_{success}\left(f,\ v_0\right)$

3 / 2

$3/2$ - .

,

f (k)

$f(k)$

l (k) = 2 k

$l(k)=\ 2k$

p_{s u c c e s s}

$p_{success}$ , , "x2" .

:

$f(k)\geq2k= l(k)$ , $f^{\left(-1\right)}\left(v\right)\le l^{-1}\left(v\right)=1/2\cdot v$ $f^{\left(-1\right)}\left(v\right)$ $l^{-1}\left(v\right)$
$p_{success}\left(l,\ v\right)$ $v$ $3/4$ , $l^{-1}\left(v\right)$ $1/2$ .

, ,

f (k)

$f(k)$

l (k)

$l(k)$ . ,

ε > 0

$\varepsilon>0$

v

$v$ :

p_{s u c c e s s} (f, v) \geq 3 / 4 + ε

$p_{success} (f,v)≥3/4 + ε$ .

-

u_{0} > 0

$u_0>0$

f^{(- 1)} (v)

$f^{\left(-1\right)}\left(v\right)$

B_{0} = (u_{0} / 2, f^{(- 1)} (u_{0} / 2)), B_{1} = (2 u_{0}, f^{(- 1)} (u_{0})), B_{2} = (8 u_{0}, f^{(- 1)} (8 u_{0})), . . .

$B_0=(u_0/2,\ f^{\left(-1\right)}\left(u_0/2\right)),\ B_1=(2u_0,\ f^{\left(-1\right)}\left(u_0\right)),\ B_2=(8u_0,\ f^{\left(-1\right)}\left(8u_0\right)),\ ...$

B_{0} B_{1} B_{2} . . . B_{n} . . .

$B_0\ B_1B_2...B_n...$ -

I (v)

$I(v)$ .

u_{0} / 2, 2 u_{0}, 8 u_{0}, \dots

$u_0/2,\ 2u_0,\ 8u_0, \ldots\$ 4 , ,

v_{0} / 2

$v_0/2$

2 v_{0}

$2v_0$ . ,

B_{n} B_{n + 1}

$B_nB_{n+1}$

I (v)

$I(v)$

2 / 3 \cdot {i n f}_{v} [p_{s u c c e s s} (f, v)] \geq 2 / 3 \cdot (3 / 4 + ε) = 1 / 2 + 2 / 3 \cdot ε

$2/3\cdot{inf}_v[p_{success}\left(f,\ v\right)]≥2/3⋅(3/4 +ε) = 1/2 + 2/3⋅ε$ .

l^{- 1} (v)

$l^{-1}\left(v\right)$

1 / 2

$1/2$ ,

I (v)

$I(v)$

1 / 2

$1/2$

2 / 3 \cdot ε

$2/3⋅ε$ ,

I (v)

$I(v)$

u_{0}

$u_0$ ,

v

$v$

l^{- 1} (v)

$l^{-1}\left(v\right)$ . ( 3)

. 3

,

I (v)

$I(v)$

f^{(- 1)} (v)

$f^{\left(-1\right)}\left(v\right)$ , ( 1))

l^{- 1} (v)

$l^{-1}\left(v\right)$ . ,

l (k) = 2 k

$l\left(k\right)=2k$ .

:

, , ,

O K

$OK$ , — . , , ,

l (k) = 2 k

$l\left(k\right)=2k$ , . .

,

f (k)

$f\left(k\right)$ , , —

l (k)

$l\left(k\right)$ .

f^{(- 1)} (v)

$f^{\left(-1\right)}\left(v\right)$

l^{- 1} (v)

$l^{-1}\left(v\right)$ ,

f^{(- 1)} (v) \leq l^{- 1} (v)

$f^{\left(-1\right)}\left(v\right)\le l^{-1}\left(v\right)$ ,

v

$v$ ,

f^{(- 1)} (v)

$f^{\left(-1\right)}\left(v\right)$

l^{(- 1)} (v)

$l^{\left(-1\right)}\left(v\right)$ .

u_{0}

$u_0$

v

$v$ . , ,

f^{(- 1)} (v)

$f^{\left(-1\right)}\left(v\right)$

B_{0} = (2 u_{0}, f^{(- 1)} (2 u_{0})), B_{1} = (u_{0} / 2, f^{(- 1)} (u_{0} / 2)), B_{2} = (u_{0} / 8, f^{(- 1)} (u_{0} / 8)), . . .

$B_0=(2u_0,\ f^{\left(-1\right)}\left(2u_0\right)),\ B_1=(u_0/2,\ f^{\left(-1\right)}\left(u_0/2\right)),\ B_2=(u_0/8,\ f^{\left(-1\right)}\left(u_0/8\right)),\ ...$

B_{0} B_{1} B_{2} . . . B_{n} . . .

$B_0\ B_1B_2...B_n...$ ( 4). , -

I (v)

$I(v)$ . , ,

I (v)

$I(v)$

B_{n} B_{n + 1}

$B_nB_{n+1}$

2 / 3 \cdot {i n f}_{v} [p_{s u c c e s s} (f, v)]

$2/3\cdot{inf}_v[p_{success}\left(f,\ v\right)]$ .

f

$f$ ,

{i n f}_{v} [p_{s u c c e s s} (f, v)]

${inf}_v[p_{success}\left(f,\ v\right)]$ ,

{i n f}_{v} [p_{s u c c e s s} (l, v)] = 3 / 4

${inf}_v[p_{success}\left(l,\ v\right)]=3/4$ . , ,

I (v)

$I(v)$

2 / 3 \cdot 3 / 4 = 1 / 2

$2/3\cdot3/4 = 1/2$ .

. 4

Δ

$\Delta$

l^{(- 1)} (u_{0}) - f^{(- 1)} (u_{0})

$l^{\left(-1\right)}\left(u_0\right)-f^{\left(-1\right)}\left(u_0\right)$ :

g (v) = l^{- 1} (v) - Δ

$g(v)=l^{-1}\left(v\right) - \Delta$ .

g (v)

$g(v)$ :

$u_0$ $g(v)$ $I(v)$
$g(v)$ $v$ $1/2$

I (v)

$I(v)$

g (v)

$g(v)$

v

$v$

u_{0}

$u_0$

0

$0$ .

I (v)

$I(v)$

g (v)

$g(v)$ .

I (v)

$I(v)$

(0, u_{0})

$(0,u_0)$

g (v)

$g(v)$ ,

I (v)

$I(v)$ ,

g (v)

$g(v)$ . ,

(0, u_{0})

$(0,\,u_0)$

I (v) \leq g (v)

$I(v)\le g(v)$ .

g (v) = 1 / 2 \cdot v + Δ

$g(v)=1/2\cdot v\ +\Delta$ ,

(0, 2 Δ)

$(0,\,2\Delta)$

g (v)

$g(v)$ ,

I (v) \leq g (v)

$I(v)\le g(v)$

I (v)

$I(v)$ .

I (v)

$I(v)$ —

f^{(- 1)} (v)

$f^{\left(-1\right)}\left(v\right)$ , , (

f

$f$

k

$k$ ),

I (v)

$I(v)$ . ,

l (k) = 2 k

$l\left(k\right)=2k$ , .

« » « ». ?

, « » ,

10 . ,

l (k) = 2 k

$l\left(k\right)=2k$ - , , . , , ,

l (k) = 2 k + 10

$l\left(k\right)=2k+10$ . ?

, , . , , , «» «» . , « »?

.

2020

magnolia@bk.ru

Случайный трамвай посреди незнакомого города

, ,

«»

More articles: